Insensibilité des temps de calcul à la complexité des systèmes

Résultats illustrant l’insensibilité du coût de calcul à différents paramètres de complexité, pour des physiques et des niveaux de complexité très variés. Ce choix n’est pas exhaustif, mais vise à être représentatif de cette diversité. Les exemples présentés couvrent notamment :

des problèmes de transport linéaire de type équation de Boltzmann, en présence de multidiffusion et de réflexions, dans des contextes allant de l’atmosphère terrestre à l’astrophysique ;
le couplage entre différents modes de transfert thermique incluant le transport advectif ;
le couplage entre dérive-diffusion et équation électrostatique déterminant le champ de dérive, pour des applications en physique du solide ;
des modèles associant transport et spectroscopie moléculaire avancée ;
ainsi que la résolution des équations de Maxwell sous l’approximation de Schiff dans des géométries complexes.

La complexité considérée prend ainsi des formes très diverses : complexités spatiales et temporelles considérables, raffinement de la description géométrique, étendue des domaines d’intégration, mais également diversité des physiques couplées, avec, pour certaines applications, des couplages non linéaires. Malgré cette diversité, l’ensemble des courbes présentées met en évidence une remarquable insensibilité du temps de calcul face à différentes augmentations de ces complexités.

Transferts advecto-radiato-diffusifs

Simulation couplée des transferts advectifs, diffusifs et radiatifs dans un milieu poreux semi-transparent constitué de cellules de Kelvin [Ibarrart et al. 2025]. Temps de calcul insensible à la complexité géométrique, ici caractérisée par le nombre de cellules.

Évolution de la densité moyenne en sortie et du temps de calcul pour un nombre croissant de cellules de Kelvin. Le temps de chargement correspond au temps nécessaire pour générer et copier la géométrie dans la mémoire RAM ainsi que pour construire la structure accélératrice, tandis que le temps de calcul correspond au temps nécessaire pour échantillonner dans le système 10 000 chemins aléatoires couplées.

Couplage non linéaire advecto-diffusif

Simulation couplée non linéaire d’advection-diffusion en physique du solide, où la vitesse d’advection dépend du champ électrique, lui-même déterminé par une équation de Poisson [Yaacoub et al. 2025]. Temps de calcul insensible au raffinement du maillage décrivant la structure de cellules photovoltaïques.

a) Dispositif de dissociation photocatalytique de l'eau impliquant un transport par dérive-diffusion des porteurs de charge. Trajectoires représentées : trajectoire principale en bleu, sous-trajectoire de vitesse en rouge. b) Gros plan sur la photoanode poreuse. c-e) Trois niveaux de discrétisation différents de la géométrie du cristal semi-conducteur constituant la photoanode, dont la morphologie est un enjeu majeur pour atteindre un rendement optimal. f) ((vert) / axe y de droite) Échantillonnage de trajectoires par la méthode de Monte-Carlo d'Aruyama de la structure de propagation, comparé à une solution analytique. Les intervalles de confiance statistiques présentent un comportement standard de 1/sqrt(N) pour l'échantillonnage de N trajectoires conjointes. Les barres d'erreur correspondent à un écart-type d'un sigma. (rouge) Temps de calcul. (bleu) Temps de chargement de la géométrie.

Transfert radiatif

Simulation du transfert radiatif spectral 3D en atmosphère, intégrant les phénomènes de diffusion multiple au sein des nuages [Villefranque et al. 2019]. Temps de calcul insensible au raffinement des données, qu'elles décrivent la structure nuageuse ou la surface terrestre.

Rendu de scènes avec des surfaces au sol de complexité croissante afin d’illustrer l’insensibilité des temps de calcul à la résolution de la surface. a) Les surfaces représentant l’orographie sont décrites à l’aide d’un nombre croissant de triangles. b) Temps de rendu en fonction du nombre de triangles utilisés pour décrire la surface, par rapport au temps de rendu de la scène utilisant la surface la plus détaillée (étoile rouge).

a) Coupes verticales de la teneur en eau liquide représentant des champs nuageux de résolution croissante. b) Temps de rendu moyen d’une réalisation, par rapport à celui de la scène avec la résolution des nuages la plus élevée (étoile rouge), en fonction du nombre de cellules dans le volume. Résultats en trait plein : grilles hiérarchiques avec un critère de fusion en épaisseur optique de 1. Résultats en pointillés : grilles hiérarchiques avec un critère de fusion en épaisseur optique de 0 (la résolution complète du champ d'origine est conservée). Avec un tel critère, les résultats n'ont pu être produits dès lors que la résolution était inférieure à 20 m : les 30 grilles hiérarchiques (une par point de quadrature) ne pouvant tenir en mémoire. Afin de compléter le graphique à des champs de résolution de 5 et 10 m, des calculs monochromatiques (points noirs) ont donc été effectués : une seule grille étant nécessaire, le calcul devient à nouveau possible.

Simulation du transfert radiatif à l’échelle planétaire dans l’atmosphère de Titan. [He et al. 2025]. Temps de calcul insensible au nombre de cellules décrivant l’état physique de l’atmosphère considérée.

Structure acceleratice qui partitionne les coefficients d’extinctions (a) et les images (b-c) générées par l’algorithme de suivi de trajectoire de Monte Carlo d'htrdr. Dans (a), la zone noire représente la surface de Titan. La grille est adaptée à l’atmosphère de Titan : les mailles cubiques sont fusionnées à haute altitude, mais pas à basse altitude. Se référer à l'article de Villefranque et al. 2019 pour une description détaillée de l'algorithme qui construit cette structure accélératrice. (b) est un rendu de Titan avec le soleil situé en bas à gauche de l’image. Dans (c) le Soleil se trouve derrière Titan ; l'image représente une éclipse du soleil par Titan.

Insensibilité du temps de calcul à la résolution de la description de l'atmosphère. Le temps de rendu est défini comme le temps de calcul moyen nécessaire pour tracer une trajectoire à une résolution donnée par rapport à celui de la résolution la plus élevée (indiqué par une étoile rouge). Les données utilisées pour rendre les images (b-c) précédentes sont moyennées pour différentes résolutions du maillage volumique de l'atmosphère. Pour chaque calcul est estimé l'intensité monochromatique moyenne du pixel central de la figure (b).

Couplage non linéaire spectro-radiatif

Simulation du couplage non linéaire entre transfert radiatif et spectroscopie moléculaire de raies [Nyffeneger-Péré et al. 2024]. L’insensibilité du temps de calcul à la complexité est illustrée selon trois dimensions : l’élargissement du domaine spectral (nombre de transitions moléculaires), l’augmentation du nombre de colonnes atmosphériques de compositions différentes et l’allongement de la période climatique d’intégration temporelle.

Complexité du domaine d'intégration. La densité de flux au sommet de l'atmosphère (TOA), en un lieu et à un instant donnés, est une double intégrale : sur toutes les fréquences et sur l'espace des chemins de diffusion multiple. La densité de flux est intégrée sur les positions au sommet de l'atmosphère et sur une période climatique. L'état thermodynamique local de l'atmosphère (température T, pression totale P, pression partielle Pi pour l'espèce i) varie à chaque instant au cours de cette période climatique, ce qui se traduit essentiellement par un spectre de raies variable dans le temps, associé aux transitions entre états moléculaires, élargi par des décalages de fréquence et des collisions, avec des formes de raies de type Doppler dans la haute atmosphère (absence de collision) qui sont nettement plus marquée que les formes de type Lorentz près de la surface, où l'élargissement dû à la pression domine.

Le temps de calcul ne dépend pas de l'étendue des domaines d'intégration (avec ou sans diffusion par des nuages 1D) Temps nécessaire pour effectuer un calcul de Monte Carlo du flux radiatif au sommet de l'atmosphère, avec une incertitude de 0,1 %, sur un ordinateur personnel équipé de 12 processeurs, en fonction de la taille des principaux domaines d'intégration : (Figure du haut) une seule date et une seule colonne atmosphérique, mais des plages d'intégration spectrale différentes ; (Figure du milieu) une seule date, sur tout l'infrarouge, mais avec différentes plages d'intégration spatiale (nombre de colonnes) ; (Figure du bas) tout l'infrarouge, sur l'ensemble de la Terre, mais avec des plages d'intégration différentes selon les périodes climatiques. Le ciel est soit dégagé, soit recouvert d'un nuage idéalisé de haute altitude afin de mettre en évidence l'impact très limité de la diffusion sur les temps de calcul. À noter que si la variance des estimations n'est pas affectée par l'élargissement des domaines d'intégration, les estimations du flux radiatif, elles, le sont. Seul les points verts représente le temps de calcul nécessaire pour obtenir une grandeur pertinente sur le plan climatique : le flux radiatif moyen sur l'ensemble du domaine infrarouge thermique, sur l'ensemble du globe, et sur une période de 10 ans.

Électromagnétisme

Résolution de l’électromagnétisme sous l’approximation de Schiff pour déterminer les propriétés optiques de microalgues destinées à alimenter un modèle de transfert radiatif [Dauchet et al. 2023]. Temps de calcul faiblement sensible à la complexité géométrique, caractérisée par l’augmentation du nombre d’ailettes et le raffinement de la discrétisation des surfaces.

Temps de calcul du logiciel Schiff pour un nombre croissant a) d'ailettes pour une forme décrite par 10^6 facettes (un nombre d'ailette de zéro correspond à une sphère) et b) de facettes pour décrire une la forme composée de 16 aillettes. Le temps de chargement correspond au temps nécessaire pour générer et copier la géométrie dans la mémoire RAM, et pour construire la grille d'accélération. Le temps de calcul représente le temps passé à échantillonner 15×10^5 chemins aléatoires par un seul thread sur un ordinateur portable équipé d'un processeur Intel Core i7-3720QM à 2.60 GHz.